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步進(jìn)電機(jī)控制算法—梯形加減速運(yùn)動(dòng)算法

2024-10-12 00:00:04

什么是梯形加減速

如下圖所示，假設(shè)該裝置使用步進(jìn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)物體X的移動(dòng)，系統(tǒng)要求物體X從A點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)停止，移動(dòng)的時(shí)間越短越好且系統(tǒng)穩(wěn)定。

使用梯形加減速

OA段為滑塊的加速部分、AB則是勻速部分，BC則是減速部分。因其圖像呈現(xiàn)梯形，所以我們把這種運(yùn)動(dòng)變化稱之為梯形加減速

使用加減速的理由

為什么要使用加減速呢？步進(jìn)電機(jī)有一個(gè)很重要的技術(shù)參數(shù)：空載啟動(dòng)頻率，也就是在沒有負(fù)載的情況下能夠正常啟動(dòng)的最大脈沖頻率，如果脈沖頻率大于該值，步進(jìn)電機(jī)則不能夠正常啟動(dòng)，發(fā)生丟步或者堵轉(zhuǎn)的情況；或者也可以理解為由于步進(jìn)脈沖變化過快，轉(zhuǎn)子由于慣性的作用跟不上電信號(hào)的變化。所以要使用加減速來解決啟動(dòng)頻率低的問題，在啟動(dòng)時(shí)使用較低的脈沖頻率，然后逐漸的加快頻率。

梯形加減速算法特點(diǎn)

梯形加減速一共分為三個(gè)階段，OA 加速部分、AB 勻速部分和 BC 減速部分。在 OA 加速過程中，由低于步進(jìn)電機(jī)的啟動(dòng)頻率開始啟動(dòng)（模型中由 0 啟動(dòng)），以固定的加速度增加速度到目標(biāo)值；在 AB 勻速過程中，以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)；在 BC 減速部分中，以加速度不變的速度遞減到 0；這種算法是一種在加速過程和減速過程中加速度不變的勻變速控制算法，由于速度變化的曲線有折點(diǎn)，所以在啟動(dòng)、停止、勻速段中很容易產(chǎn)生沖擊和振動(dòng)。

算法基礎(chǔ)

上圖為步進(jìn)電機(jī)與時(shí)間的示意圖，其中：

表示第1個(gè)脈沖發(fā)送時(shí)刻表示第2個(gè)脈沖發(fā)送時(shí)刻表示第3個(gè)脈沖發(fā)送時(shí)刻表示定時(shí)器的計(jì)數(shù)周期表示定時(shí)器從 ~ 時(shí)刻的定時(shí)器計(jì)數(shù)值表示定時(shí)器從 ~ 時(shí)刻的定時(shí)器計(jì)數(shù)值和表示兩個(gè)脈沖之間的間隔時(shí)間步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)需要控制器發(fā)送脈沖，如果控制器以恒定速度發(fā)送脈沖，那么步進(jìn)電機(jī)就以恒定速度轉(zhuǎn)動(dòng)；如果控制器以加速度發(fā)送脈沖，那么步進(jìn)電機(jī)就以加速度運(yùn)動(dòng)；所以只要改變脈沖的頻率就可以改變速度的變化，也就是說調(diào)整脈沖之間的時(shí)間間隔就可以改變速度。以 stm32 的高級(jí)定時(shí)器 8 為例，使用定時(shí)器PWM輸出模式給控制器發(fā)送脈沖。高級(jí)定時(shí)器 8 的時(shí)鐘頻率為 168MHZ, 如果將分頻值設(shè)置為 5，那么定時(shí)器的時(shí)鐘頻率則為： , 相當(dāng)于計(jì)數(shù) 28M 次正好為一秒，周期與頻率為倒數(shù)關(guān)系，所以分頻值為 5 的定時(shí)器 8 的計(jì)數(shù)周期 ; 和的值即為ARR寄存器的值，所以我們?cè)诠潭ǖ亩〞r(shí)器頻率下，只需要改變ARR的值，即可改變電機(jī)的速度。

梯形算法要求的變量

我們通過控制定時(shí)器輸出PWM波形來描繪上述梯形，至少需要知道以下變量：在加速階段：加速初始PWM頻率，即我們要求的ARR寄存器的值加速度accel加速階段總的脈沖數(shù)勻速階段：勻速所用的脈沖數(shù)減速階段：減速初始頻率（也是勻速運(yùn)動(dòng)的速度）減速度decel減速所用的脈沖一般情況下，電機(jī)加速度accel、減速度decel和總步數(shù)（即總脈沖數(shù)）是給定的，我們需要通過這3個(gè)變量推導(dǎo)出剩余的變量。知道以上變量，再推導(dǎo)出每步的定時(shí)器頻率，結(jié)合脈沖數(shù)即可繪制完整的梯形圖。

加減速算法推導(dǎo)過程

1. 電機(jī)轉(zhuǎn)過的角度的計(jì)算：

電機(jī)轉(zhuǎn)過的角度等于脈沖數(shù)乘以步距角:其中：表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)的脈沖數(shù)，表示電機(jī)的步距角2. 電機(jī)由速度0勻加速運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過所用的時(shí)間 :由勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式：可推導(dǎo)出,電機(jī)轉(zhuǎn)過的角度：其中：為轉(zhuǎn)過的角度， ω 為初角速度，為加角速度，為所用的時(shí)間。當(dāng)初角速度 ω 時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)過所用的時(shí)間：

3.求相鄰脈沖時(shí)間間隔：

其中：表示定時(shí)器計(jì)數(shù)器相鄰兩脈沖間的計(jì)數(shù)值，表示定時(shí)器的時(shí)鐘周期，定時(shí)器頻率的倒數(shù)假設(shè)相鄰兩脈沖間轉(zhuǎn)過的角度分別用和表示，所用時(shí)間用和表示，則根據(jù)公式（4）也可以表示為:上式中表示轉(zhuǎn)過角度時(shí)，所用的脈沖數(shù)上式中和根據(jù)公式(1)可得出： , ,則帶入最終可得到公式（6）上式中表示轉(zhuǎn)過角度時(shí)，所用的脈沖數(shù)此處計(jì)算時(shí)，讓，而不是（）是因?yàn)?nbsp; 是兩脈沖之間的時(shí)間間隔，的脈沖數(shù) 最小也應(yīng)該等于1,所以在為正整數(shù)的情況下，采用更符合實(shí)際情況。

4、求第1個(gè)周期內(nèi)計(jì)數(shù)器的值

第1個(gè)周期內(nèi)計(jì)數(shù)器的值，即電機(jī)勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的初始值，加速初始PWM頻率。

根據(jù)公式（5）和（6）可求得：由上得出：用公式（7）求第1個(gè)周期內(nèi)計(jì)數(shù)器的值求第個(gè)周期內(nèi)計(jì)數(shù)器的值：由上得出：其中根據(jù)公式（7）可得出：由于計(jì)算的過程中需要進(jìn)行開方運(yùn)算，微控制器的計(jì)算能力有限，因此在此使用泰勒公式進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)逐級(jí)逼近的方法。在這里主要是用的是泰勒公式的特例——麥克勞林公式；具體如下：為構(gòu)造與麥克勞林相同的公式將，并且與公式 (9) 做比值處理，并進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，具體如下圖所示：公式推導(dǎo)一共分為以下 5 個(gè)步驟推導(dǎo)：A. 與利用公式(8)求比值；B. 分子分母提出和 , 并將其約掉；C. 整理化簡(jiǎn)根號(hào)下的內(nèi)容；D. 將麥克勞林公式帶入；E. 忽略無窮下余項(xiàng)，化簡(jiǎn)求得；將其化簡(jiǎn)為關(guān)于的式子如下：化簡(jiǎn)后得出：通過公式（7）和公式（9），即可推到出每個(gè)周期內(nèi)的計(jì)時(shí)器的值，及每步的頻率。經(jīng)過化簡(jiǎn)的公式（9）有一定的誤差，其得出的結(jié)果比公式（8）快。所以我們對(duì)公式（7）乘以0.676加以校正。通過公式（9）和公式（10）我們可以求出：加速初始PWM頻率，即我們要求的ARR寄存器的值電機(jī)加速階段每一步的PWM頻率，即ARR寄存器的值C知道寄存器ARR的值后，我們就可以控制電機(jī)加速了，但是我們不知道電機(jī)應(yīng)該加速到什么時(shí)候，即電機(jī)加速多少步以后開始勻速運(yùn)行，多少步以后開始減速運(yùn)行，接下來我們繼續(xù)推導(dǎo)以上變量。5、推導(dǎo)脈沖數(shù)和加速度成反比在電機(jī)由速度零勻加速或勻減速到速度零的運(yùn)動(dòng)情況下，由和可推出：由速度帶入上式可得：轉(zhuǎn)化一下后：公式（11）中， ω 為最大速度，為步距角，由此看出在最大速度和步距角不變的情況下，脈沖與加速度成反比。

6、在一個(gè)電機(jī)勻加速到一定速度，再勻減速的情況下，如下圖：

從0加速再減速到0的速度示意圖由公式（11）可得: （）兩邊同時(shí)加得：化簡(jiǎn)得出：

7、求加減速步數(shù)

對(duì)于步進(jìn)電機(jī)加減速階段來說，由于已經(jīng)設(shè)定好了步進(jìn)電機(jī)加速度、減速度、最大速度和總運(yùn)行步數(shù)，所以說一共分為2種情況：（1）電機(jī)能夠加速到給定的最大速度，勻速運(yùn)行一段時(shí)間后，再減速到0電機(jī)加速到給定speed再減速的示意圖由得到加速階段的步數(shù):A. 由公式 (13) 得到: （） B. 由公式 (12) 得出負(fù)號(hào)是因?yàn)闇p速過程，帶入公式（9）時(shí)用。帶入公式（9）時(shí)，應(yīng)為decel_step，其后每一步加1，直到停止。（2）由于運(yùn)動(dòng)距離過短，電機(jī)無法加速到最大速度即開始減速：電機(jī)無法加速到給定speed就減速的示意圖加速階段的步數(shù)由公式（15）計(jì)算，減速步數(shù)如下:負(fù)號(hào)是因?yàn)闇p速過程，帶入公式（9）時(shí)用。通過以上推導(dǎo)，我們求出了梯形算法要求的所有變量。算法優(yōu)化由于算法在計(jì)算過程中涉及到一些浮點(diǎn)型運(yùn)算，大量的浮點(diǎn)型運(yùn)算會(huì)使得效率大大降低，為了使得計(jì)算速度得到更好的優(yōu)化，我們做如下優(yōu)化：1、對(duì)于加減速的每一步來說，都需要重新計(jì)算下一步的時(shí)間，計(jì)算的過程中可能會(huì)出現(xiàn)除不盡的項(xiàng)式，為了更有利的加減速，可以采用加速向上取整，減速向下取整的原則來做運(yùn)算，也可以采用余數(shù)累計(jì)的方法，在這里使用的是將余數(shù)累計(jì)的方法來提高間隔時(shí)間的精度和準(zhǔn)確性。（）余數(shù)公式：（）上式中，mod就是取余數(shù)的意思，即C語言中的%。

2、令:速度擴(kuò)大100倍

加速度擴(kuò)大100倍

擴(kuò)大后的速度和加速度還用原來的字母表示

則加速度擴(kuò)大100倍以后，變?yōu)?令：則：公式（14）中，速度和加速度擴(kuò)大100后，變化為：其他公式的加速度和速度相應(yīng)放大100倍后，公式不發(fā)生變化ref：[1]正點(diǎn)原子[2]http://t.csdn.cn/P8g4H